Chaîne de Markov à deux états

Énoncé

On considère un réel  $p\in ]0;1[$ et une chaîne de Markov   $(X_n{)}_{(n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{\ast }})}$  de matrice de transition  $T=\left(\begin{array}{cc}1-p& p\\ p& 1-p\end{array}\right)$ .

1. On suppose que  $X_0=\left(\begin{array}{cc}0,5& 0,5\end{array}\right)$ . Calculer  $X_1$ . Que peut-on dire de la suite   $(X_n{)}_{(n\in {\mathbb{N}}^{\mathbb{\ast }})}$  ?

2. On définit la matrice  $M=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$ . Calculer  $M^2$ . En déduire une expression de  $M^n$  en fonction de  $n$ .

3. En remarquant que  $T=I_2-pM$ , en déduire une expression de  $T^n$ .

4. On suppose à présent que  $X_0=\left(\begin{array}{cc}0,3& 0,7\end{array}\right)$ . Calculer  $X_1$ et  $X_2$  en fonction de  $p$ , puis  $X_n$  en fonction de  $p$  et de  $n$ .