Chaîne de Markov à deux états

Énoncé

On considère un réel  \(p\in ]0 ; 1[\) et une chaîne de Markov   \((X_n)_{(n\in\mathbb{N^*})}\)  de matrice de transition  \(T=\begin{pmatrix}1-p&p\\p&1-p\end{pmatrix}\) .

1. On suppose que  \(X_0=\begin{pmatrix}0,5&0,5\end{pmatrix}\) . Calculer  \(X_1\) . Que peut-on dire de la suite   \((X_n)_{(n\in\mathbb{N^*})}\)  ?

2. On définit la matrice  \(M=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}\) . Calculer  \(M^2\) . En déduire une expression de  \(M^n\)  en fonction de  \(n\) .

3. En remarquant que  \(T=I_2-pM\) , en déduire une expression de  \(T^n\) .

4. On suppose à présent que  \(X_0=\begin{pmatrix}0,3&0,7\end{pmatrix}\) . Calculer  \(X_1\) et  \(X_2\)  en fonction de  \(p\) , puis  \(X_n\)  en fonction de  \(p\)  et de  \(n\) .